MATEMATICAS

LEYES DE SEMEJANZA

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA.

1. - Introducción.

En los temas anteriores hemos analizado el comportamiento de fluidos en el ámbito de estática, en donde cualquier tipo de problema, se puede abordar y tener una solución analítica directa. También, nos hemos introducido en la dinámica de fluidos (cuando existe flujo) y lo hemos analizado a través de las tres ecuaciones básicas mediante el método del volumen de control. En este último caso, no existen soluciones directas en muchos casos de problemas que se nos pueden plantear, por ejemplo, siempre tenemos el problema de la valoración de la altura de pérdidas (hfriccion), por lo que se ha de recurrir al análisis experimental, es decir, al trabajo de laboratorio para poder encontrar las correlaciones que nos hacen falta.

En general se aplican estas técnicas cuando se conocen las variables que intervienen en el problema (fenómeno físico), mientras que la relación que existe entre ellas se desconoce.

Por ejemplo:

Pensemos que quiere determinar la fuerza de arrastre de una pelota lisa de diámetro D, que se mueve a una cierta velocidad v en un fluido viscoso. Otras variables involucradas son las que nos definen el fluido, es decir, la densidad y la viscosidad absoluta (por lo que podemos establecer que la fuerza de arrastre F, es una función desconocida de estas variables: F = f ( D, v, 

Para determinar experimentalmente la relación se requeriría un trabajo considerable, ya que sólo una de las variables entre paréntesis debe modificarse cada vez, lo que resulta la acumulación de muchas gráficas, el uso de diferentes pelotas con diferentes diámetros, y la utilización de muchos fluidos con diferentes densidades y viscosidades. Lo que implica que para un problema físico casi pueril, una investigación larga y costosa.

Así en nuestro caso, si hacemos 10 pruebas, entre dos variables, manteniendo el resto de variables constantes, deberíamos realizar, el siguiente número de pruebas experimentales:

En donde podemos representar en abscisas el diámetro, y en ordenadas la velocidad, representando cada curva, una determinada fuerza de arrastre, esto realizado para una densidad y una viscosidad de fluido constante, en total se han realizado 100 pruebas de laboratorio, después realizaríamos este mismo cuadro de pruebas para 10 densidades diferentes, con lo que ya tenemos 1000 pruebas, y después realizaríamos 10 series pruebas más para encontrar la relación con la viscosidad (viscosidad variable) con lo que obtendríamos un total de 10.000 pruebas experimentales.

Para evitar esta tediosa tarea, se ha creado un procedimiento denominado análisis dimensional.

2. - Análisis dimensional.

Mediante el análisis dimensional, el problema o fenómeno físico, se representa por una función de los denominados “grupos adimensionales”, en vez de por las variables que intervienen. Con este procedimiento, se reduce el número de variables, con lo que el coste de la experimentación disminuye.

Nosotros podemos expresar una dimensión dependiente en función de un conjunto seleccionado de dimensiones básicas independientes, en nuestro caso como utilizamos el Sistema Internacional de unidades, estas dimensiones básicas son:

- L, longitud.

- M, masa.

- T, tiempo.

- K, grados kelvin.

Así podemos expresar, por ejemplo, la velocidad dimensionalmente como:

Como una longitud entre un tiempo.

Se denomina grupo adimensional, aquel cuya dimensión es 1; es decir, cuando el producto de un grupo de cantidades expresadas dimensionalmente es igual a 1.

Por ejemplo:

Este grupo adimensional recibe un nombre particular, el número de Reynolds.

La manera de relacionar estos grupos adimensionales y las variables que afectan a un fenómeno físico en cuestión, nos viene relacionado por el teorema de Buckingham o teorema de .

3. - Teorema de pi o Buckingham.

Este teorema dice lo siguiente:

“Si se sabe que un proceso físico es gobernado por una relación dimensionalmente homogénea que comprende a n parámetros dimensionales, tales como: x1 = f (x2, x3,...., xn)

donde las “x” son variables dimensionales, existe una relación equivalente que contiene un número (n - k) de parámetros adimensionales, tales como: f’(n-k)

donde los “” son grupos adimensionales que se construyen a partir de las “x”. La reducción “k” generalmente es igual al número de dimensiones fundamentales contenidas en “x”, pero nunca mayor que él”.

4. - Aplicaciones del teorema de pi.

El teorema pi, lo único que nos dice es el número mínimo de grupos adimensionales. Para la construcción completa de un sistema de grupos adimensionales, se debe seguir con el siguiente método:

1) Escribir una relación funcional para la relación dimensional que se investiga, asegurándose de incluir todos los parámetros dimensionales relevantes.

Así podemos escribir la pérdida de altura por fricción (Hfricción) en una tubería recta de sección circular, que depende de:

Donde  es la rugosidad absoluta de la tubería (dimensión longitud).

2) Determinar el número de parámetros adimensionales que se requieren construir.

Para ello cada variable la expresamos dimensionalmente:

Hfricción = L

L = L

D = L

V = L/T

 = M/L3

 = M/(L*T)

 = L

En donde tenemos 7 variables (n) y 3 dimensiones (k). Por tanto el número de grupos adimensionales que tendremos según el teorema de “pi” es de: n – k = 7 – 3 = 4 grupos adimensionales.

3) Cálculo de los grupos adimensionales.

La relación funcional se expresa dimensionalmente, elevando las variables dependientes a coeficientes:

[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d, [M*L-1*T-1]e, [L]f)

Como debe ser una ecuación dimensionalmente homogénea, el lado izquierdo de la igualdad tiene que tener la misma dimensión que el lado derecho de la igualdad, por tanto se cumple:

[L]

1 = a + b + c – 3d – e + f

[T]

0 = - c – e

[M] 0 = d + e

Nos produce un sistema de 3 ecuaciones con 6 incógnitas, por lo que se escogen tres variables (que queramos que se repitan en los diferentes grupos adimensionales), y se ponen en función de las demás.

En este caso escogeremos la densidad (d), la velocidad (c) y el diámetro (f):

d = - e

c = - e

1 = a + b – e – 3*(- e) – e + f

1 = a + b + e + f

f = 1 – a – b – e

Sustituyendo en la misma relación:

[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]-e, [M*L-3]-e, [M*L-1*T-1]e, [L]1-a-b-e)

y agrupando las potencias se obtiene:

Con lo que hemos obtenido cuatro grupos adimensionales, tales como habíamos deducido por la aplicación del teorema de pi.

5. – Grupos adimensionales importantes en la Mecánica de Fluidos.

En todos los problemas relacionados con la Mecánica de Fluidos, aparece siempre un número determinado de grupos adimensionales. Veamos cuales son, y por qué son estos y no otros.

Así, a nivel general, sabemos que la suma de fuerzas que actúan sobre un fluido, puede provocar una aceleración del mismo:

Esta fuerza de inercia se puede expresar como:

Las fuerzas que componen el sumatorio de fuerzas, son las másicas y las superficiales, y pueden ser:

a) Fuerzas másicas:

1) Fuerzas debido a la gravedad:

b) Fuerzas superficiales:

1) Fuerzas normales o de presión:

2) Fuerzas tangenciales o de fricción debido a la viscosidad:

3) Fuerzas tangenciales debido a la tensión superficial:

4) Fuerzas normales debido a la compresibilidad:

Sumando todas las fuerzas e igualando a las de inercia, obtenemos:

Esta es una expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:

Como intervienen 3 magnitudes básicas (masa, longitud y tiempo), se han de obtener 5 grupos adimensionales:

Dividiendo la ecuación del por las fuerzas de inercia, obtendremos:

Estos cinco números adimensionales, en general, se les da otra forma y se les asigna unos nombres particulares:

• Número de Reynolds.

; es el cociente entre las fuerzas de inercia y las de fricción producidas por la viscosidad.

• Número de Euler.

; representa la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de presión.

• Número de Froude.

; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de gravedad.

• Número de Mach.

; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de elasticidad. Siendo la velocidad del sonido en el fluido en cuestión.

• Número de Weber.

; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las debidas a la tensión superficial.

6. – Semejanzas de modelos.

Muchas veces, con la experimentación; en vez de examinar un fenómeno físico, que ocurre en un objeto particular o en un conjunto de objetos, nos interesa estudiar un conjunto de fenómenos, sobre un objeto o conjunto de objetos. Por ejemplo, se quiere predecir el campo de presiones en un pilar de un puente que está sobre un río. Para ello tenemos dos opciones:

a) Construirlo a escala 1:1, y medir directamente las presiones. Si la resistencia es adecuada dejarlo, y si no, destruirlo y volverlo a construir adecuadamente.

b) Construir un modelo a escala, por ejemplo 1:60, y realizar pruebas en un laboratorio de hidráulica, y extrapolar los resultados para construir un pilar adecuado.

Como es obvio la opción a) es inviable y tendremos que recurrir a la opción b).

Para ello deberemos relacionar el modelo a escala con el prototipo real, de alguna manera; para poder predecir el comportamiento de éste a partir de los resultados obtenidos experimentalmente en el modelo a escala. Por ello debemos hablar de las leyes de semejanza.

6.1. – Leyes de semejanza.

Para poder extrapolar los resultados, previamente se han de cumplir:

a) El modelo ha de ser geométricamente igual que el prototipo.

Por tanto, las longitudes L, superficies A y volúmenes V deben ser homólogos entre el prototipo y el modelo, y han de verificar la siguiente relación:

Siendo  la escala del prototipo en relación al modelo.

b) El modelo ha de ser dinámicamente semejante al prototipo.

Para que los fenómenos en el modelo y en el prototipo sean comparables no basta que los modelos de estructuras o máquinas hidráulicas sean geométricamente semejantes a los prototipos, sino que también los flujos, o sea las líneas de corriente, han de ser semejantes. Para ello es necesario que las velocidades, aceleraciones, y fuerzas sean semejantes.

Cuando se cumple la semejanza geométrica y dinámica se dice que el modelo tiene semejanza cinemática con el prototipo.

Por lo tanto para una semejanza completa, supuesta la intervención de todas las fuerzas señaladas anteriormente, se debería cumplir:

Eup = Eum; Frp = Frm; Map = Mam; Rep = Rem; Wep = Wem

Esta condición sólo se cumple cuando el modelo y el prototipo tienen el mismo tamaño.

Afortunadamente, en un buen número de casos puede prescindirse de la influencia de tres de las fuerzas y consecuentemente, de sus tres adimensionales correspondientes.