Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.
Además podemos utilizar otro método en caso que hubiéramos calculado el máximo común divisor, en el cual se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es 60.
MAXIMO COMUN DIVISOR
En matemáticas el máximo común divisor (abreviado mcd o m.c.d.) de dos o más números enteros es el mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto,42/14=3,56/14=4 y 3 y 4 son primos entre sí (no existe ningún natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).
Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:
Descomposición en factores primos
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el mcd. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos
De las factorizaciones de 48 y 60:
El mcd son los factores comunes con su menor exponente, esto es:
En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualesquiera.
Algoritmo de Euclides
Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el mcd de dos números también divide al resto de dividir el mayor por el más pequeño: se divide 60 por 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12. El mcd será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 por 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Formalmente puede describirse como:
Mcd de tres o más números
El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a, mcd(b,c)).
