MATEMATICAS

DISTANCIA DE DOS PUNTOS

La distancia expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos. También se emplea como expresión para indicar una relación de alejamiento afectivo entre dos personas: el desafecto.

Plano de Manhattan. La distancia euclidiana (segmento verde), no se corresponde con el «camino más corto» ente dos puntos de dicha ciudad, además de no ser único.

La menor distancia entre dos puntos recorrida sobre la superficie de una esfera es un arco de círculo máximo: la ortodrómica.En matemática, la distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento de curva.

En física, la distancia es una magnitud escalar, que se expresa en unidades de longitud o tiempo.

Si (X,d) es un espacio métrico, , y , podemos definir la distancia del punto x al conjunto E de la siguiente manera: .

Es de destacar las siguientes tres cosas:

En primer lugar, en las condiciones dadas, siempre existirá esa distancia, pues d tiene por dominio , así que para cualquier existirá un único valor real positivo d(x,y). Por la completitud de y como la imagen de d está acotada inferiormente por 0, queda garantizada la existencia del ínfimo de ese conjunto, esto es, la distancia del punto al conjunto.

Si entonces d(x,E) = 0.

Puede ser que d(x,E) = 0 pero , por ejemplo si x es un punto de adherencia de E. De hecho, la clausura de E es precisamente el conjunto de los puntos de X que tienen distancia 0 a E.

Los casos de distancia de un punto a una recta o de distancia de un punto a un plano no son más que casos particulares de la distancia de un punto a un conjunto, cuando se considera la distancia euclídea.

Si (X,d) es un espacio métrico, y , , , podemos definir la distancia entre los conjuntos A y B de la siguiente manera: .

Por la misma razón que antes, siempre está definida. Además d(A,A) = 0, pero puede ocurrir que d(A,B) = 0 y sin embargo . Es más, podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos, e incluso que tengan clausuras disjuntas. Por ejemplo, el conjunto y el conjunto . Por un lado, A = cl(A), B = cl(B) y , y por otro d(A,B) = 0.

La distancia entre dos rectas, la distancia entre dos planos, etc. no son más que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclídea.